【数学】南京市第二十九中2022-2023学年高二上学期期初学情调研数学试卷

【数学】南京市第二十九中2022-2023学年高二上学期期初学情调研数学试卷

文末获取打印版

南京市第二十九中学2022－2023学年高二第一学期期初学情调研试卷数学

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)

1．过A(1，－3)，B(－2，0)两点的直线的倾斜角是()

A．45°B．60°C．120°D．135°

2．下列命题中，正确的个数是()

①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；

＞||，且与同向，则＞

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

，则

A．0个B．1个C．2个D．3个

3．已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()

A．(－1，0]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]

4．经过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程

是()

A．(x＋)2＋(y＋)2＝B．(x－)2＋(y－)2＝

C．(x＋)2＋(y－)2＝D．(x－)2＋(y＋)2＝

5．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|.|MF2|的最大值为()

A．13B．12C．9D．6

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝c＝4，A＝120°,且D是BC

边上的动点(不含端点)，则(+·(+)的取值范围是()

A．[－8，10)B．[－16，40)C．[－8，40)D．[－16，48)

7．椭圆＋＝1，△ABC的顶点B、C分别是椭圆的焦点，顶点A在椭圆上，则

sinB＋sinC＋sinA的值为()

A．B．C．D．9

8．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的

正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°,则球O的体积为()

A．8πB．4πC．2πD．π

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，

至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)

9．下列说法正确的有()

A．若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tanα,

B．点(－1，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，0)

C．圆(x－1)2＋(y－3)2＝r2(r＞0)与圆x2＋y2＝16可能内含、内切或相交

D．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r＞0)外离，则0＜r＜4

10．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则()

A．直线l与圆C的位置关系无法判断

B．当k＝1时，圆C上的点到直线l的最远距离为＋2

C．当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k＝0

D．如果直线l与圆C相交于M、N两点，则M、N的中点的轨迹是个圆

11．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是()

A．若＝，则△ABC为等腰三角形

B．若△ABC为锐角三角形，则|sinA＞cosB

C．若tanA＋tanB＋tanC＜0，则△ABC为钝角三角形

D．若a＝bsinC＋ccosB，则∠C=

12．已知P是椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)上的一动点，离心率为e，椭圆与x轴的交点分别为A、B，左、右焦点分别为F1，F2．下列关于椭圆的四个结论中正确的是()

A．若PA、PB的斜率存在且分别为k1，k2，则k1k2用a，b表示；

B．若椭圆C上存在点M使·＝0，e∈(0，)；

C．若ΔPF1F2的面积最大时，∠F1PF2＝120°,则e=

2；

D．根据光学现象知道：从F1发出的光线经过椭圆反射后一定会经过F2．若一束光线从F1

发出经椭圆反射，当光线第n次到达F2时，光线通过的总路程为4na.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．把答案填写在答题卡相应位置上)

13．一直线l被直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x＋2y＋5＝0所截得的线段中点恰为坐标原点，

则直线l的方程为.

14．方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是.

15．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，满足(-

)·(+)＝0，(O为坐标原点)．若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率为.

16．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1上定点A(1，0)．若l1与圆相交于P，Q两点线

段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，则|AM|.|AN|的值为.

四、解答题(本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

已知直线l经过点P(－2，5)，Q(2，2).

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m与l平行，且它们间的距离为4，求直线m的方程.

18．(本小题满分12分)

(1)已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，求x＋y的范围：

(2)已知＋＝1，求x＋y的范围；

(3)已知x2－3x＋y2＝0，求y2－x的范围.

19．(本小题满分12分)

已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率.

(1)求椭圆C2的方程

(2)已知F1，F2为椭圆C2的两焦点，若点P在椭圆C2上，且sin∠F1PF2＝，求△F1PF2面积.

20．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，点A(3，0)半径为1的圆C的圆心在直线l：y＝－2x＋4上.

(1)若圆C被直线3x＋4y－11＝0所截得的弦长为，求圆C的标准方程；

(2)若圆C上存在点M，使得MA＝2MO，求圆心C的横坐标的取值范围.

21．(本小题满分12分)

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(1，)直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，

且线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为－0.5.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，求实数m的范围.

22．(本小题满分12分)

在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PB＝PD，M，N分别为PA，

BC的中点.

(1)求证：MN//平面PCD；

(2)求证：BD⊥PA；

(3)若∠DAB=∠PAC＝60°,∠APC＝90°,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

南京市第二十九中学2022－2023学年高二第一学期期初学情调研试卷

数学

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)

1．过A(1，－3)，B(－2，0)两点的直线的倾斜角是()

A．45°B．60°C．120°D．135°

【答案】D

【解析】因为A(1，－3)，B(－2，0)，所以kAB＝＝tanθ=-1，由于0≤θ<π,所以θ=135°,故答案选D.

2．下列命题中，正确的个数是()

①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；

③若，满足||＞||，且与同向，则＞

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

⑤若∥，∥，则∥

A．0个B．1个C．2个D．3个

【答案】A

【解析】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；向量有方向，不能比较大小，故③错误；向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误；当＝0时，可满足∥，∥，但与不一定平行，故⑤错误；综上，正确的个数是0，故答案选A.

3．已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()

A．(－1，0]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]

【答案】D

【解析】由图可知，当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2，故答案选D.

4．经过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程是()

A．(x＋)2＋(y＋)2＝B．(x－)2＋(y－)2＝

C．(x＋)2＋(y－)2＝D．(x－)2＋(y＋)2＝

【答案】C

【解析】由题意，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小，圆

5．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|.|MF2|的最大值为()

A．13B．12C．9D．6

【答案】C

【解析】由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤2=

32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝c＝4，A＝120°,且D是BC

→→→→

边上的动点(不含端点)，则(DA＋DB)·(DA＋DC)的取值范围是()

A．[－8，10)B．[－16，40)C．[－8，40)D．[－16，48)

【答案】C

7．椭圆＋＝1，△ABC的顶点B、C分别是椭圆的焦点，顶点A在椭圆上，则

的值为()

A．3B4C1D9

5．5．9.

【答案】D

【解析】由题意可知，a＝5，b＝3，所以c＝4，又△ABC的顶点B、C分别是椭圆的焦点，

所以|AB|＋|AC|＝2a＝10，|BC|＝2c＝8，所以由正弦定理可得＝=

＝9，故答案选D.

8．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的

正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°,则球O的体积为()

A．8πB．4πC．2πD．π

【答案】D

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，

至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)

9．下列说法正确的有()

A．若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tanα,

B．点(－1，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，0)

C．圆(x－1)2＋(y－3)2＝r2(r＞0)与圆x2＋y2＝16可能内含、内切或相交

D．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r＞0)外离，则0＜r＜4

【答案】BCD

【解析】

10．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则()

A．直线l与圆C的位置关系无法判断

B．当k＝1时，圆C上的点到直线l的最远距离为2＋2

C．当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k＝0

D．如果直线l与圆C相交于M、N两点，则M、N的中点的轨迹是个圆

【答案】BC

【解析】

11．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是()

A．若＝，则△ABC为等腰三角形

B．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB

C．若tanA＋tanB＋tanC＜0，则△ABC为钝角三角形

D．若a＝bsinC＋ccosB，则∠C=

【答案】BCD

【解析】

12．已知P是椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)上的一动点，离心率为e，椭圆与x轴的交点分别

为A、B，左、右焦点分别为F1，F2．下列关于椭圆的四个结论中正确的是()

A．若PA、PB的斜率存在且分别为k1，k2，则k1k2用a，b表示；

B．若椭圆C上存在点M使1·2＝0，则e∈(0，)；

C．若ΔPF1F2的面积最大时，∠F1PF2＝120°,则e＝；

D．根据光学现象知道：从F1发出的光线经过椭圆反射后一定会经过F2．若一束光线从F1发出经椭圆反射，当光线第n次到达F2时，光线通过的总路程为4na.

【答案】AC

【解析】

则k1k2用a，b表示，故选项A正确；

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．把答案填写在答题卡相应位置上)13．一直线l被直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x＋2y＋5＝0所截得的线段中点恰为坐标原点，

则直线l的方程为.

【答案】3x＋y＝0

【解析】

14．方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是.

【答案】(4，7)∪(7，10)

【解析】由题意可知，方程x2＋y2＝1表示椭圆，

k－410－k

15．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，满足(1-

→→→

OP)·(OF1＋OP)＝0，(O为坐标原点)．若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率为.

【答案】

16．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1上定点A(1，0)．若l1与圆相交于P，Q两点线

段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，则|AM|.|AN|的值为.

【答案】6

【解析】直线l1与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线l1：kx－y－k＝0，

四、解答题(本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

已知直线l经过点P(－2，5)，Q(2，2).

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m与l平行，且它们间的距离为4，求直线m的方程.

【解析】

则直线m的方程为3x＋4y＋6＝0或3x＋4y－34＝0

18．(本小题满分12分)

(1)已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，求x＋y的范围：

(2)已知＋＝1，求x＋y的范围；

(3)已知x2－3x＋y2＝0，求y2－x的范围.

【解析】

(1)可设x＋y＝b，即化简为x＋y－b＝0，当直线与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相切时，

有圆心(1，2)到直线x＋y－b的距离d＝＝2，解得b＝3＋2或b＝3－2，

所以x＋y的范围为[3－2，3＋2]；

(2)因为＋＝1，所以设x＝4cosθ,y＝3sinsθ,

(3)因为x2－3x＋y2＝0，所以y2－x＝－x2＋3x－x＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，又x2－3x＋y2

=0中的x∈[－，]，所以－(x－1)2＋1∈[－3，1]，即y2－x的范围为[－3，1].

19．(本小题满分12分)

已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率.

(1)求椭圆C2的方程；

(2)已知F1，F2为椭圆C2的两焦点，若点P在椭圆C2上，且sin∠F1PF2＝，求△F1PF2面

积.

【解析】(1)由题意可设椭圆C2的方程为

(2)因为sin∠F1PF2＝，所以cos∠F1PF2＝，则tan∠F1PF2＝，解得tan＝3－3，所以△F1PF2面积S＝b2tan＝4×(3－3)＝12－12.

20．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，点A(3，0)半径为1的圆C的圆心在直线l：y＝－2x＋4上.

(1)若圆C被直线3x＋4y－11＝0所截得的弦长为，求圆C的标准方程；

(2)若圆C上存在点M，使得MA＝2MO，求圆心C的横坐标的取值范围.

【解析】

21．(本小题满分12分)

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(1，)直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，

且线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为－0.5.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，求实数m的范围.

【解析】

(2)

22．(本小题满分12分)

在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PB＝PD，M，N分别为PA，

BC的中点.

(1)求证：MN//平面PCD；

(2)求证：BD⊥PA；

(3)若∠DAB=∠PAC＝60°,∠APC＝90°,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

【解析】

【数学】南京市第二十九中2022-2023学年高二上学期期初学情调研数学试卷.pdf