你好，我是王烁。

上一讲，我们讲了一阶风险，也就是可能的损失。这一讲，我们讲二阶风险。它与一阶风险的差别是这样的：一阶风险是已知风险的预期值，二阶风险则是对预期的偏离，所谓预期差。用普通话来讲，一阶风险是意料，二阶风险是意外。

人是预期的动物，从过去搜集数据，在现在思考，向着未来行动。但凡风险在意料之中，就能采取行动，消化风险。但意料之外怎么办？

上一讲说到，美国平均每年有十万分之六的人死于摔倒，但每年死于摔倒的比例肯定都不一样，有的年份会高，有的年份会低。保险公司如果只按十万分之六来给意外险定价的话，遇到事故发生特别多的年份，就亏死了。长期中这个比例会回到均值，但要是短期中保险公司绷得太紧没留出余地，在短期中就挺不住倒掉了，那长期对它没有用处。对冲了意料之中，还要给意料之外留出余地。

正态分布

怎样衡量这个余地？

偏离预期的程度小风险就小，偏离预期的程度大风险就大。统计学提供了一把能够测量偏离程度的尺子，帮你度量风险，它叫标准差。

标准差度量数据偏离平均值的程度。

以上面讲的摔倒为例，它是这样得出来的：首先把每年美国人实际死于摔倒的比例，依次减去平均值；值可能为正可能为负，所以取平方再相加，再除以年数，就得到了方差，再开平方根得到标准差。标准差越大，这组数据偏离其均值的程度就越高，风险就越大，反之则越小。

如果你知道一组数据的均值和标准差，那么，哪怕不知道每个数值是什么，你已经驯服了其中蕴含的大部分风险，如果这组数据是正态分布的话，简直就是全部风险。

所谓正态分布，呈现为钟形曲线，左右对称，最高点是这组数据的平均值，向左右两侧放下伸展出尾部，好像一口钟。

在正态分布里，数据非常集中，绝大多数数据集中在平均值周围，极少部分分布在两侧尾部。具体来说，在距均值一个标准差的距离内，有68.3%的数据，两个标准差之内有95.4%，三个标准差之内就能涵盖99.7%。得到钟形曲线，意味着二阶风险尽在掌握。

面对钟形曲线，你能精确地表达自己想要拥有多少风险。来一个标准差的？还是两个三个的？

你读论文看科普，最常见一个数字，5%，这不是偶然，它对应着约两个标准差。两个标准差以外的尾部是小概率事件，被认为不大会发生，管住95%风险足够了。

如果是智商，则两个标准差之内对应着智商70到130的区间，其两侧分别是弱智和天才的门槛。普通人的智商则在一个标准差之内，85到115之间，2/3的人都在这里。

钟形曲线刻画风险，就是这般了如指掌。

中间层工具

当然，正态分布、钟形曲线，并不是这个世界的常态。正态分布要求随机可重复事件且彼此相互独立。世界上太多事情或者不随机，或者不可重复，或者并不相互独立。

比如收入就不是正态分布，它既不随机也不独立，因此收入分布的形状不是钟形曲线，更像是金字塔结构，所谓二八法则，20%的人拥有80%的财富，层层往上。

之所以说世界是未知的，从统计思维的角度看，就是因为把世界当作总体，它的数据怎样分布对我们是未知的。黑夜里走路，手电筒照亮眼前一小段路，但灯光之外的黑暗里有多少坎多少沟多少洞，看不见。

所幸统计学有大数定律和中心极限定理这些工具，在看得见与看不见之间，给我们搭了一座天梯。不管总体是怎样分布的，只要抽样过程满足随机、独立性要求，样本量足够，那就有两个关键结果：

• 第一，根据中心极限定理，样本的均值是正态分布。
• 第二，根据大数定律，样本均值的均值约等于总体均值。

也就是说，统计学能构造出一个我们恰好会处理的正态分布，并根据它的性质来对总体作出推断。

总体均值，样本均值，样本均值的均值，三个层次的概念很绕，我来举个例子。

比如说你想知道北京市所有人的平均收入。前面说了，收入不是正态分布，另外北京有2000万常住人口，你也不可能去穷尽每个人的收入信息。那你怎么才能知道平均收入？

如果你多次随机抽样，每次相互独立，样本容量足够大比如每次抽400人，总共抽样1000次那么：

• 第一，我们想知道的是北京市人口的平均收入，这里叫作总体均值。
• 第二，通过1000次抽样，产生1000个样本，每个样本中的400人有个平均值，叫作样本均值，1000个样本均值之间还有个平均值，叫作样本均值的均值。
• 第三，样本均值的均值约等于总体均值，所以，只要获得这些样本均值，再取其平均值，我们就得到了北京市人口的平均收入。

抽样1000次只是我为了方便解释，现实中没有人这么麻烦，抽样调查毕竟是有成本的。现实中往往只抽一次，一次就够用。

为什么？

复习一下：中心极限定理告诉我们，样本均值是正态分布。大数定律告诉我们，样本均值的均值，约等于总体平均值。

现在，只抽一次样，只产生一个样本均值数据，要用它去推断北京市总人口平均收入，等于要回答这个问题：在那个样本均值的正态分布里，如果只知道其中一个样本的均值数据，那么，它与样本均值的均值，也就是总体均值，也就是北京市平均收入的距离是多少？

回答这个问题，只需要再知道一样东西：样本均值的标准差。

我们并不知道样本均值的标准差，惟一知道的是这一次抽样400个人收入的样本标准差。统计学的处理方法是，用样本标准差除以标本容量的平方根，来推算样本均值的标准差。这法子不完美，但没有更好的办法。统计思维有什么就用什么，并不因为不完美就停在那里不往前走。

好了，现在推断北京市平均收入的条件都已具备：

• 第一，你只要判断样本均值的均值就可以了，因为它等于总体均值。
• 第二，根据样本标准差，推算样本均值的标准差。抽样得到的单个样本均值，距样本均值的均值的距离，等于样本均值的均值距样本均值的距离你跟我的距离，等于我跟你的距离。
• 第三，用样本均值的标准差，来衡量样本均值与样本均值的均值的距离。

在这个例子里，你抽样已经得到了样本均值，样本均值的标准差已推算，至于距离样本均值的均值，也就是北京市平均收入几个标准差，就看你的要求了。如果你要求估计得宽一点，标准差个数就多一点；估计得窄一点，标准差个数就少一点。

假如抽样400人得到的均值是年收入8万元，标准差是2万元，那么，推算样本均值的标准差是2万/400开平方根等于1000。那么，我就有95%的把握，北京人的平均收入在7.8万到8.2万之间，它对应着两个标准差；有99.7%的把握，北京人的平均收入在7.7万到8.3万之间，它对应着三个标准差。估计得越宽，我的把握就越大，反之亦然。

上面这个操作，统计学叫作置信区间。你日常看见的许多统计数据都是区间估计，人均收入是，美国总统大选预测也是。它表面上是一个数据，实际上总是伴随着一个区间，还有一个与区间对应的置信水平，就是有把握程度。

到这里，入门统计学的核心就都有了。在已知与未知之间，统计学就这样给我们搭了一座天梯，剩下的就是把正态分布、钟形曲线掰开揉碎的各种应用：

如果已知均值和标准差，你就知道任何一个数据在分布中的位置。这操作叫点估计。

如果已知样本均值和标准差，去估计未知的总体均值，这操作叫置信区间。

如果已知总体均值，想检验一个新假设，于是用抽样获得样本均值，再考察样本均值出现的概率是否落在给定显著性水平之内，由此决定是否接受这个假设，这操作叫作假设检验。

如果已知你面对的是个正态分布，事情很简单；如果你不知道面对的是什么分布，那么，在未知的总体与你已知的抽样之间，统计学用大数定律和中心极限定理戏法，构造出一个正态分布的中间层，再根据你预定的精度要求，用抽样数据透过中间层去推断未知。

点估计、置信区间、假设检验，这些令普通人头昏脑涨的操作，本质都是同一套操作，差别只在于总体均值、样本均值、精度要求当中，你给定哪一个，求解哪一个。

本讲小结

我最后再讲几个提醒。

第一，统计学的核心不是梳理已知，绝大多数时候不是列举全部数据，那是大数据的活。统计学是小数据，核心是用已知推断未知。

第二，统计学依靠数学但不是数学，它尽可能严格但没法严格到底，在没理想工具的时候，它是有什么用什么，在我们预定的精度水平上，去推断未知。看跟统计有关的任何结论，一定不要只看单一结论，还要看区间多大，预定的精度是多少。

第三，未知地带总是有意外等着我们。以股价为例，现代金融学早期将股价波动近似地当作正态分布来处理，但正态分布过低估计了小概率重大事件出现的频率。

1987年华尔街黑色星期一，道指下跌27%，按正态分布算出来的概率小到整个宇宙诞生以来的时间都不够这事发生。股票指数的涨跌不是正态分布现在已成常识，那它到底是什么分布？用什么工具去处理它？金融界今天还在打补丁。

所有模型都是错的，好在有些还有用，能用将就用，不能用的将就修修接着用。

思考题

通用电气公司（GE）曾经实行过著名的6个西格玛管理，西格玛就是标准差，6个西格玛指正确率要达到6个标准差的水平。请问具体是个什么水平？我提示一下，是个有点变态的水平。

这两讲我们讲了可以计算的风险怎么逼近，下一讲，我们讲没法计算的风险怎么面对。

我是王烁，我们下一讲见。

 划重点

1. 统计学是小数据，核心是用已知推断未知。先已知全部数据再去分析是大数据的活。 2. 看统计结论一定要看数据的精度，因为它不完全严谨，它是用工具去推断未知。 3. 未知地带总是有意外等着我们。

网友评论

我想向王烁老师请教一个问题：这次我们遇到的新型冠状病毒感染的肺炎疫情是不是由一阶风险（已知风险）转为二阶风险（未知风险）呢？对风险的预期出现偏离了？

我们是不是应当把不知道不可控的纳入认知和可控范围，也就是放大我们的认知及预测边界，如此才能加宽护城河，避免偶发事件给我们造成重大伤害。诚如 Leton 所说：当灾难有可能来临时，站在危险的一边去赌运气，不是一个正确的选择。

作者回复

它刚开始应该是risk 3，用贝叶斯推断来探索。然后希望进入risk 2。

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我是正好去年看了本讲次贷危机的书才知道什么是方差，（因为样本值减去均值会有正负，如果直接相加会出现抵消的情况，所以需要平方一下。然后这些平方之后的均值差相加再除以总数，就得到了方差）。

通过今天的课程顺便了解了什么是标准差，就是方差开平方根。以及样本均值约等于总体均值。 所以你有了样本标准差，总体均值，样本均值就可以搞定很多统计学上的概念，比如 点估计，置信区间，假设检验。

这篇内容还真算得上完美的统计学入门。之前一直想要学习统计学，总是有点看不下去相关书籍觉得有点烧脑，绕来绕去。这次感觉好一些，但也还需要多复习和应用才能正真掌握。

作者

回复

样本均值的均值约等于总体均值

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六西格玛管理有一阵我在各种单位的宣传栏里经常见，最近倒是不太常见了。这个要求出错率低于百万分之3.4极高要求，写在墙上很容易，做起来太难了。很多企业都是只听过名字就拿来宣传，几乎没有落过地。原因是成本太高，根本做不到。

或许随着机器人的普及，人工智能的应用，排除了人的因素，六西格玛能够更普及一些。毕竟在重复工作的可靠性上，机器比人还是更有优势。

作者

回复

搞六个西格玛的GE, 现在怎么样了？

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请教王烁老师，如果收入不是正态分布，是不是就不适合用均值来描述？用中位数更合适吧？那么如何用抽样的结果来估计总体呢？

作者

回复

尽管平均数在许多时候不是个好的指标，人们还是喜欢用平均数。

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预防二阶风险的关键，是充分估计波动的可能。

六西格玛的要求，是出错率不能超过百万分之3.4。如此丧心病狂的安全要求，基本只出现在下面几种情况里：

1. 医药，因为你负担不起出错的代价；

2. 一些电子配件，因为的自动化加工技术能做到这点；

3. 精密仪器，因为必须如此，否则配不上精密二字；

4. 复杂产品的设计制造，比如汽车和高铁列车，因为一来单个点的错误能被系统中其他部分补偿掉，二来这样的系统通常会有层层风险评估，只有全部保护措施都失效，才会真正出危险，但是系统失败的代价太高，所以必须六西格玛。

我从事的工作更接近于机械加工、装配，所以六西格玛其实是做不到，也并无必要的。但是三西格玛却仍然重要。

举个例子：机械加工中，通常会要求实际尺寸，落在一个名为公差带的范围之内。比如一个零件要求是 50.965 - 51.000mm 之间，公差带的宽度只有35μm，如果加工的标准差只有3μm。按照三西格玛，也就是说有超过99%的可能性，尺寸波动能控制在正负10μm以内，如果实测平均尺寸在50.990mm的话，总体合格率就不需要太担心，保险起见还可以要求下调 5-10μm 的加工值，加工方完全能做到。但如果加工方水平比较差，只能做到10μm的标准差，那么我们就应该认为它很难做到这个要求（合格率不高），而且也并没有通过简单调整加工值，就能改善合格率的可能。

至于上述的尺寸，以及尺寸的标准差怎样获得，很简单，抽查一下就行了，抽样数量按照 ISO2859 选取就可以。使用这个标准，其实除了确定抽样数量外，你甚至可以依照样本情况，直接判定整个批次是否可以接收。

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通用电气公司（GE）曾经实行的6个西格玛管理的正确率要达到6个标准差的水平，这个水平就是3.4失误/百万！

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一个企业要想实现六西格玛管理，它的出错率就不能超过百万分之3.4，确实是一个非常变态的数字。不过六西格玛并不是企业管理的灵丹妙药，它只能保证质量的稳定，并不等同于高质量，更不意味着满足客户需求。

因此，当年实施六西格玛比较成功的企业，也有逐渐没落的，比如摩托罗拉，以及正在走下坡路的祖师爷通用电气。不过六西格玛管理特别适合那些处于成熟期的企业，它能实现生产流程的标准化，提高生产效率。

二阶的统计学能实现大概齐的目标，但是如果行业或企业的生命周期处在初创期或调整期，那统计学的效果就大打折扣了。因为可能出现的情况可能被人为的屏蔽了，一旦发生就能整的你措手不及。

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????这期认知课可以直接拉出来做统计学入门教材了，要数据有数据、要理论有理论、要思想有思想，没有半句题外发挥～

思考题：六个标准差包含了99.99966%的数据，也就是说只有0.00034%的可能，现实不在预料之中。

但另有一句感慨，如此高标准的质量管理，需要投入的各类成本可谓不低，是否真的找到了质量和成本的最优平衡解，也许应该具体问题具体分析吧～

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6个西格玛是百万只有3.4的个位数不良，是一个要求近乎完美的方案，不是万无一失，是百万无一失。

医疗上原来的麻醉，在麻醉医生不断努力但不配合工程师的情况下，只能做到10万级别的错误率，在每年六十亿人这个数量级，一生起码一次手术的话，就是可能要死上万人了。现在进军了六个西格玛。

差一点有多大，比如百万变为十万，就是科比的生与死: 民用直升机的十万小时致命事故是1.48(来自孤独大脑)，如果达到六个西格玛，科比就会带着他的女儿回来。可惜没有如果。

r.i.p

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6个西格玛包括正负区间，加起来即12个标准差的水平。度了一下数值是百万分之3.4的缺陷率，确实变态水准。但是否就要追求这个目标？我觉得在任何行业的顶尖水平里是值得竞争的，因为基数足够大。但在日常生活中，我觉得大可不必，它应该超过了边际效用定律。我们都知道，想要做个通常好学生，目标是不偏科即可。做个通常意义上的社会人，基本的工作能力、人际关系处理能力、学习更新能力就够了。平庸的人度过平凡的一生，是大多数人的宿命。

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在现实世界中，各种保险产品，其实不只是应对一阶风险，也是人类为了应对二阶风险而发明的工具。通常，保险公司会根据以往统计数据，计算风险发生的概率，从而确定人身、财产、重疾等各类保费标准。这样的做法，确实可以在很大程度上应对一阶风险，但涉及到具体的个体，情况就有些不一样了；很多风险一旦发生，产生的后果往往会超过大多数人的预期，对每个人生活的影响，也是千差万别。比如最简单的生病来说，很多人都觉得，只要有钱，不就是花钱治病吗？其实还真不是，一旦真的得了像癌症这样的重大疾病，就很有可能意味着接下去好几年都没法正常工作，也就失去了最重要的经济来源。所以，很多时候，我们就不能只买医疗险，还需要考虑重疾险；就是为了保障患重大疾病之后，不会因为没有收入，而造成生活质量的下降。再比如说死亡，即使个人真的意外故去，父母、孩子今后的怎么办？他们以后的生活会不会出现什么重大风险？这个时候，寿险、年金险就是你需要应对各种意料之外情况的解决方案了。所以，保险产品的选择，或者说保险体系的构建，就是运用已知应对未知，有效防范偏离预期的二阶风险的好方法。这也是我们每个人都必须面对和学习的人生课题之一。

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专门查了下六个西格玛的精度要求达到99.9999998%。

十几年前国内各大企业都在流行这个，后面就慢慢销声匿迹了，一直没太搞明白为什么？

搞质量安全相关的还在用类似方法对产品质量进行管控，将不可控因素尽量消除，可貌似目前大数据的应用更适合这方面的管控，统计更应该是对未来战略提供帮助。

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西格玛在统计上用来表示数据的分散程度，对计量值而言，西格玛用来度量与目标值的偏移程度，6个西格玛表示分散程度只占规格公差的一半；对计数值而言，西格玛用来度量缺陷率、不良率，6个西格玛表示不良率3.4PPM，PPM(百万分之一）。6个西格玛也可解释为每一百万个机会中有3.4个出错的机会，即正确率是99.99966％。

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把幂率分布转化为正态分布，确实可以求出总体均值。但总体均值无法反映幂率分布的情况，就象知道了北京市的收入平均值，但依然不知道贫富差距有多大。

我们需要更多的统计工具。

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6西格玛管理是一种以数据为基础，追求一种几乎完美无瑕的质量控制理念

6西格玛质量水平相当于，每100万次的生产或者服务的过程中，仅仅出现3.4次错误，也就是，合格的产品和服务出现的概率是99.9997%

1995年GE开始学习和实施6西格玛管理的

老师在文稿中已经展示了，达到3个西格玛的水平，已经可以把准确率提升到了99.7%，但是如果在样本量足够大，比如是100万次，而在西格玛范围之外的后果又非常严重的时候，例如，医疗，航空等和生命挂钩，燃气和电力供应等，无法承担任何损失的时候，进一步提升西格玛的数值，就成为了必要

举个栗子，直接把样本量扩大到100万，例如是100万次机器配药，如果只达到3个西格玛的水平，那意味着每年会有100万×(1-99.7%)=3000次配错药，再把这个100万换成航空设备稳定性等，可能造成的后果也是不堪设想的

所以，航空公司的质量控制已经超过了6个西格玛，甚至达到了7个西格玛水平，毕竟任何的空难，都是无法承受的

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用已知推未知的二阶风险，是可以预知的意外，是可以人为理性推断的意外。

   GE使用的6西格玛管理，2个标准差就能覆盖95%的范围，3个标准能覆盖99%的范围，4个标准差能覆盖99.72%的范围，那6个标准差基本上就是99.999999%，完全可控呀，这种精益管理用于生产，那就是万无一失呀。

   无论是正态分布、钟型分布、标准差、均值、均值的均值等，都为我们对待复杂问题提供了一个解决方案，简单的精确也好过精确的简单。

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六西格玛看似匪夷所思，却在情理之中。

比如：这次的科比飞机失事，以及前一阵子的台湾坠机事件。如果把这几起空难和做飞机发动机的GE联系起来看，就不难理解他们对产品质量为什么一定要坚持达到六西格玛了。

当然，有些企业只是做普通的汽车、轮船部件也开口闭口六西格玛，显得就有些哗众取宠、东施效颦了。

根据中心极限定理和大数定律，我对预期偏差就有了更多的掌控感。世事难料，但总有办法。